Алгебарски изрази познати су као комбинација слова, знакова и бројева у математичким операцијама. Обично слова представљају непознате величине и називају се променљивим или непознатим. Алгебарски изрази омогућавају превођење у математичке језичке изразе обичног језика. Алгебарски изрази произилазе из обавезе превођења непознатих вредности у бројеве који су представљени словима. Грана математике одговорна за проучавање ових израза у којима се појављују бројеви и слова, као и знакови математичких операција, је Алгебра.
Шта су алгебарски изрази
Преглед садржаја
Као што је већ поменуто, ове операције нису ништа друго до комбинација слова, бројева и знакова који се касније користе у различитим математичким операцијама. У алгебарским изразима слова се понашају као бројеви, а када крену тим током, користи се између једног и два слова.
Без обзира на израз који имате, прво што треба учинити је поједноставити, то се постиже коришћењем својстава операција (а), која су еквивалентна нумеричким својствима. Да бисте пронашли нумеричку вредност алгебарске операције, морате заменити слово одређеним бројем.
На овим изразима се могу изводити многе вежбе које ће се радити у овом одељку како би се побољшало разумевање предметне теме.
Примери алгебарских израза:
- (Кс + 5 / Кс + 2) + (4Кс + 5 / Кс + 2)
Кс + 5 + 4Кс + 5 / Кс + 2
5Кс + 10 / Кс + 2
5 (Кс + 2) / Кс + 2
5
- (3 / Кс + 1) - (1 / Кс + 2)
3 (Кс + 2) - Кс - 1 / (Кс + 1) * (Кс + 2)
2Кс - 5 / Кс ^ 2 + 3Кс + 2
Алгебарски језик
Алгебарски језик је онај који користи симболе и слова за представљање бројева. Његова главна функција је успостављање и структурирање језика који помаже генерализовању различитих операција које се одвијају унутар аритметике где се јављају само бројеви и њихове елементарне аритметичке операције (+ -к%).
Алгебарски језик има за циљ успостављање и дизајнирање језика који помаже генерализовању различитих операција које су развијене у аритметикама, где се користе само бројеви и њихове основне математичке операције: сабирање (+), одузимање (-), множење (к) и подела (/).
Алгебарски језик карактерише његова прецизност, јер је много конкретнији од нумеричког језика. Кроз њу се реченице могу кратко изразити. Пример: скуп вишекратника од 3 је (3, 6, 9, 12…) изражен је 3н, где је н = (1, 2, 3, 4…).
Омогућава вам изражавање непознатих бројева и извршавање математичких операција са њима. На пример, збир два броја се изражава овако: а + б. Подржава изражавање општих нумеричких својстава и односа.
Пример: комутативно својство се изражава овако: акб = бк а. Када пишете овим језиком, непознатим величинама се може манипулисати једноставним симболима за писање, омогућавајући поједностављење теорема, формулисање једначина и неједначина и проучавање начина њиховог решавања.
Алгебарски знакови и симболи
У алгебри се у теорији скупова користе и симболи и знакови који чине или представљају једначине, низове, матрице итд. Слова су изражена или именована као променљиве, јер се исто слово користи у другим проблемима и његова вредност проналази различите променљиве. Међу неке од класификационих алгебарских израза су следећи:
Алгебарске фракције
Алгебарски разломак познат је као онај који је представљен количником два полинома који показују понашање слично нумеричким разломцима. У математици можете са овим разломцима оперирати множењем и дељењем. Због тога се мора изразити да је алгебарски разломак представљен количником два алгебарска израза где је бројилац дивиденда, а именитељ делилац.
Међу својствима алгебарских разломака може се истаћи да ако се умањилац подели или помножи са истом неновитом величином, разломак неће бити промењен. Поједностављење алгебарског разломка састоји се у његовом претварању у разломак који се више не може смањити, што је неопходно за факторисање полинома који чине бројник и називник.
Алгебарски изрази класификације огледају се у следећим типовима: еквивалентни, једноставни, тачни, неправилни, састављени од бројила или нултог називника. Тада ћемо видети сваког од њих.
Еквиваленти
Суочавате се са овим аспектом када су унакрсни производи исти, односно када је резултат разломака исти. На пример, ове две алгебарске фракције: 2/5 и 4/10 биће еквивалентне ако је 2 * 10 = 5 * 4.
Једноставно
Они су они у којима бројилац и називник представљају целобројне рационалне изразе.
Сопствени
То су једноставни разломци у којима је бројилац мањи од називника.
Непрописно
То су једноставни разломци у којима је бројилац једнак или већи од називника.
Композитни
Формирани су од једног или више разломака који се могу налазити у бројиоцу, називнику или обоје.
Нулти бројник или називник
Појављује се када је вредност 0. У случају да има разломак 0/0, биће неодређен. Када се алгебарске фракције користе за извођење математичких операција, морају се узети у обзир неке карактеристике операција са нумеричким разломцима, на пример, да би се започело најмање заједнички вишекратник мора се наћи када су називници различитих цифара.
И код дељења и множења, операције се изводе и изводе на исти начин као и код нумеричких разломака, јер оне морају бити поједностављене кад год је то могуће.
Мономиалс
Мономијали су широко коришћени алгебарски изрази који имају константу која се назива коефицијент и дословни део, који је представљен словима и може се подићи на различите моћи. На пример, моном 2к² има коефицијент 2, а к² је дословни део.
У неколико наврата се дословни део може састојати од множења непознаница, на пример у случају 2ки. Свако од ових слова назива се неодређеним или променљивим. Моном је врста полинома са једним чланом, поред тога, постоји могућност да се нађе испред сличних монома.
Елементи монома
С обзиром на моном 5к ^ 3; Разликују се следећи елементи:
- Коефицијент: 5
- Дословни део: к ^ 3
Производ монома је коефицијент који се односи на број који се појављује множењем дословног дела. Обично се поставља на почетак. Ако умножак монома има вредност 1, он није записан и никада не може бити нула, јер би цео израз имао вредност нула. Ако постоји нешто што бисте требали знати о мономским вежбама, то је следеће:
- Ако моному недостаје коефицијент, он је једнак јединици.
- Ако било који појам нема експонент, једнак је јединици.
- Ако било који дословни део није присутан, али је потребан, сматра се с експонентом нула.
- Ако се ништа од овога не слаже, онда се не суочавате са мономским вежбама, чак бисте могли рећи да исто правило постоји и са вежбама између полинома и монома.
Сабирање и одузимање монома
Да бисте могли да извршите збире између два линеарна монома, потребно је задржати линеарни део и додати коефицијенте. У одузимању два линеарна монома, линеарни део се мора задржати, као у збировима, да би се могли одузети коефицијенти, затим се коефицијенти множе и са истим основама додају експоненти.
Множење монома
То је моном чији је коефицијент умножак или резултат коефицијената, који имају дословни део који је добијен множењем потенцијала који имају потпуно исту базу.
Подела монома
Није ништа друго до још један моном чији је коефицијент количник добијених коефицијената који, поред тога, имају и дословни део добијен из подела између потенцијала који имају потпуно исту базу.
Полиноми
Када говоримо о полиномима, мислимо на алгебарску операцију сабирања, одузимања и уређеног множења начињене од променљивих, константи и експонената. У алгебри, полином може имати више променљивих (к, и, з), константе (целе бројеве или разломке) и експоненте (који могу бити само позитивни цели бројеви).
Полиноми се састоје од коначних чланова, сваки појам је израз који садржи један или више од три елемента са којима су направљени: променљиве, константе или експоненте. На пример: 9, 9к, 9ки су сви термини. Други начин за идентификовање појмова је тај што се одвајају сабирањем и одузимањем.
Да бисте решили, поједноставили, додали или одузели полиноме, морате да спојите појмове са истим променљивим као што су, на пример, појмови са к, изрази са „и“ и изрази који немају променљиве. Такође, важно је погледати знак пре појма који ће одредити да ли ће се сабирати, одузимати или множити. Појмови са истим променљивим се групишу, додају или одузимају.
Врсте полинома
Број појмова које полином има ће назначити о којој врсти полинома је реч, на пример, ако постоји полимон са једним појмом, онда је окренут према моному. Јасан пример за то је једна од вежби полинома (8ки). Ту је и двочлани полином, који се назива бином и идентификује се следећим примером: 8ки - 2и.
Коначно, полином од три члана, који су познати као триноми и идентификују се помоћу једне од полиномских вежби 8ки - 2и + 4. Триноми су врста алгебарског израза насталог збиром или разликом три члана или мономи (слични мономи).
Такође је важно говорити о степену полинома, јер ако је реч о једној променљивој, то је највећи експонент. Степен полинома са више променљивих одређен је појмом са највећим експонентом.
Сабирање и одузимање полинома
Додавање полинома подразумева комбиновање појмова. Слични појмови се односе на монома који имају исту променљиву или променљиве подигнуте на исту снагу.
Постоје различити начини за извођење полиномских израчунавања, укључујући збир полинома, који се могу извршити на два различита начина: хоризонтално и вертикално.
- Сабирање полинома водоравно: користи се за извршавање операција хоризонтално, за редунданцију, али прво се напише полином, а затим се прати у истој линији. После тога се записује други полином који ће се сабирати или одузимати и коначно, слични појмови се групишу.
- Вертикални збир полинома: постиже се писањем првог полинома на уређен начин. Ако је ово непотпуно, важно је празнине у терминима који недостају оставити слободним. Затим, следећи полином је написан одмах испод претходног, на тај начин ће израз сличан ономе горе бити испод. На крају се додаје свака колона.
Важно је додати да се за сабирање два полинома морају додати коефицијенти члана истог степена. Резултат додавања два члана истог степена је још један појам истог степена. Ако било којем члану недостаје било који степен, може се употпунити са 0. И они су обично поређани од највишег до најнижег степена.
Као што је горе поменуто, да бисте извели збир два полинома, потребно је само да додате чланове истог степена. Особине ове операције чине:
- Асоцијативна својства: у којима се збир два полинома решава додавањем коефицијената који прате к-ове који расту до исте снаге.
- Комутативно својство: које мења редослед сабирања и резултат се не може утврдити. Неутрални елементи, којима су сви коефицијенти једнаки 0. Када се неутралном елементу дода полином, резултат је једнак првом.
- Супротно својство: формирано од полинома који има све инверзне коефицијенте агрегатних коефицијената полинома. дакле, при извођењу операције сабирања резултат је нулти полином.
Што се тиче одузимања полинома, (операције са полиномима) нужно је мономи груписати према карактеристикама које поседују и започети са поједностављивањем сличних. Операције са полиномима се изводе додавањем супротности од одбитка у минуенд.
Још један ефикасан начин да се настави са одузимањем полинома је писање супротности сваког полинома испод другог. Дакле, слични мономи остају у колонама и настављамо да их додајемо. Без обзира која се техника изводи, на крају ће резултат увек бити исти, наравно ако се правилно уради.
Множење полинома
Множење монома или вежбе између полинома и монома, је операција која се изводи за проналажење резултујућег производа, између монома (алгебарски израз заснован на множењу броја и слова уздигнутог на цео број и позитиван експонент) и другог израз, ако је ово независан појам, други моном или чак полином (коначан збир монома и независних чланова).
Међутим, као и код скоро свих математичких операција, множење полинома такође има низ корака које треба следити приликом решавања предложене операције, а који се могу сажети у следећим поступцима:
Прво што треба урадити је помножити моном са његовим изразом (помножити знакове сваког његовог појма). Након тога, вредности коефицијента се множе и када се вредност пронађе у тој операцији, додаје се литерал монома пронађених у терминима. Тада се сваки резултат бележи по абецедном реду и на крају се додаје сваки експонент који се налази у основним литералима.
Полиномска подела
Такође познат као Руффинијева метода. Омогућава нам да полином поделимо са биномом, а такође омогућава и лоцирање корена полинома да бисмо га факторизирали у биноме. Другим речима, ова техника омогућава поделу или декомпозицију алгебарског полинома степена н у алгебарски бином, а затим у други алгебарски полином степена н-1. А да би то било могуће, неопходно је знати или знати бар један од корена јединственог полинома, како би раздвајање било тачно.
Ефикасна је техника поделе полинома биномом облика к - р. Руффинијево правило је посебан случај синтетичке деобе када је делилац линеарни фактор. Руффинијеву методу описао је италијански математичар, професор и лекар Паоло Руффини 1804. године, који је, осим што је изумео познату методу под називом Руффинијево правило, која помаже у проналажењу коефицијената резултата фрагментације полинома од стране бином; Такође је открио и формулисао ову технику на приближном израчунавању корена једначина.
Као и увек, када је реч о алгебарској операцији, Руффинијево правило укључује низ корака које мора испунити да би се постигао жељени резултат, у овом случају: пронаћи количник и остатак својствени подели било које врсте полинома и бином облика к + р.
Пре свега, приликом започињања операције, изрази се морају прегледати како би се верификовало или утврдило да ли се заиста третирају као полиноми и биноми који одговарају очекиваном облику методом Руффинијевог правила.
Једном када су ови кораци потврђени, полином је поредан (у опадајућем редоследу). После овог корака узимају се у обзир само коефицијенти чланова полинома (до независног), постављајући их у ред слева надесно. Неколико простора је остављено за потребне чланове (само у случају непотпуног полинома). Знак кухиње постављен је лево од реда, који чине коефицијенти полимена дивиденде.
У левом делу галерије настављамо са постављањем независног члана бинома, који је, сада, делилац и његов знак је инверзан. Независно се множи са првим коефицијентом полинома, региструјући се тако у другом реду испод првог. Тада се први коефицијент одузима други коефицијент и умножак мономског независног члана.
Независни члан бинома множи се резултатом претходног одузимања. Али такође, постављен је у други ред, што одговара четвртом коефицијенту. Операција се понавља док се не постигну сви услови. Трећи ред који је добијен на основу ових множења узима се као количник, са изузетком његовог последњег члана, који ће се сматрати остатком дељења.
Резултат се изражава, пратећи сваки коефицијент варијабле и степен који јој одговара, започињући да их изражава нижим степеном од оног који су првобитно имали.
- Теорема о остатку: то је практична метода која се користи за поделу полинома П (к) са другим чији је облик ка; у коме се добија само вредност остатка. Да бисте применили ово правило, следе се следећи кораци. Полиномска дивиденда се записује без довршавања или редоследа, а затим се променљива к дивиденде замењује супротном вредношћу независног члана дељеника. И на крају, операције се решавају у комбинацији.
Теорема о остатку је метода помоћу које можемо добити остатак од алгебарске поделе, али у којој није потребно извршити било какву поделу.
- Руффинијева метода: Руффинијева метода или правило је метода која нам омогућава да делимо полином са биномом, а такође нам омогућава да лоцирамо корене полинома да чинимо у биномима. Другим речима, ова техника омогућава поделу или декомпозицију алгебарског полинома степена н у алгебарски бином, а затим у други алгебарски полином степена н-1. А да би ово било могуће, потребно је знати или знати бар један од корена јединственог полинома, како би раздвајање било тачно.
- Корени полинома: Корени полинома су одређени бројеви који чине полином вредним нули. Такође можемо рећи да ће комплетни корени полинома целобројних коефицијената бити делитељи независног члана. Када решимо полином једнак нули, добијамо корене полинома као решења. Као својства корена и чиниоци полинома можемо рећи да су нуле или корени полинома делиоци независног члана који припада полиному.
То нам омогућава да сазнамо остатак поделе полинома п (к) неким другим обликом ка, на пример. Из ове теореме следи да је полином п (к) дељив са ка само ако је а корен полинома, само ако и само ако је п (а) = 0. Ако је Ц (к) количник и Р (к) је остатак дељења било ког полинома п (к) биномом који би био (ка) нумеричка вредност п (к), за к = а, једнак је остатку његовог дељења ка.
Тада ћемо рећи да је: нП (а) = Ц (а) • (а - а) + Р (а) = Р (а). Генерално, да би се добио остатак дељења са Кса, погодније је применити Руффинијево правило него заменити к. Стога је остатак теорема најприкладнија метода за решавање проблема.
У математичком свету Руффинијево правило је ефикасна техника за поделу полинома биномом облика к - р. Руффинијево правило је посебан случај синтетичке деобе када је делилац линеарни фактор.
Руффинијеву методу описао је италијански математичар, професор и лекар Паоло Руффини 1804. године, који је осим што је изумео познату методу названу Руффинијево правило, која помаже у проналажењу коефицијената резултата фрагментације полинома од стране бином; Такође је открио и формулисао ову технику на приближном израчунавању корена једначина.
Тада за сваки корен, на пример, типа к = а одговара биному типа (ка). Полимон је могуће изразити у факторима ако га изразимо као умножак или свих бинома типа (ка) који одговарају коренима, к = а, који резултирају. Треба узети у обзир да је збир експонената бинома једнак степену полинома, такође треба узети у обзир да ће сваки полином који нема независан члан признати као корен к = 0, на други начин, признаће као Икс фактор.
Полином ћемо назвати „прости“ или „несводљиви“ када не постоји могућност да се на њега рачуна.
Да бисмо се упуштали у тему, морамо бити начисто са основном теоремом алгебре, која каже да је довољно да полином у несталној променљивој и сложеној коефицијенти има онолико корена колико и њихов степен, јер корени имају своју множину. Ово потврђује да било која алгебарска једначина степена н има н сложених решења. Полином степена н има највише н стварних корена.
Примери и вежбе
У овом одељку ћемо поставити неке алгебарске изразе решене вежбе сваке од тема обрађених у овом посту.
Вежбе алгебарских израза:
- Кс ^ 2 - 9 / 2Кс + 6
(Кс + 3) * (Кс - 3) / 2 * (Кс + 3)
Кс - 3/2
- Кс ^ 2 + 2Кс + 1 / Кс ^ 2 - 1
(Кс + 1) ^ 2 / (Кс + 1) * (Кс - 1)
Кс + 1 / Кс - 1
Збир полинома
- 2к + 3к + 5к = (2 + 3 + 5) к = 10 к
- П (к) = 2 × 2 + 5к-6
К (к) = 3 × 2-6к + 3
П (к) + К (к) = (2 × 2 + 5к-6) + (3 × 2-6к +3) = (2 × 2 + 3 × 2) + (5к-6к) + (-6 + 3) = 5 × 2-к-3
Одузимање полинома
П (к) = 2 × 2 + 5к-6
К (к) = 3 × 2-6к + 3
П (к) -К (к) = (2 × 2 + 5к-6) - (3 × 2-6к +3) = (2 × 2 + 5к-6) + (-3 × 2 + 6к-3) = (2 × 2-3 × 2) + (5к + 6к) + (-6-3) = -к2 + 11к-9
Полиномска подела
- 8 а / 2 а = (8/2). (А / а) = 4
- 15 аи / 3а = (15/3) (аи) / а = 5 и
- 12 бки / -2 бки = (12 / -2) (бки) / (бки.) = -6
- -6 в2.ц. к / -3вц = (-6 / -3) (в2.ц. к) / (в. ц) = 2 в
Алгебарски изрази (биномни квадрат)
(к + 3) 2 = к 2 + 2 • к • 3 + 32 = к 2 + 6 к + 9
(2к - 3) 2 = (2к) 2 - 2 • 2к • 3 + 32 = 4 × 2 - 12 к + 9
Преостала теорема
(к4 - 3 × 2 + 2):(к - 3)
Р = П (3) = 34 - 3 • 32 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56
Множење монома
акн бкм = (а б) кн + м
(5к²и³з) (2и²з²) = (2 · 5) к²и3 + 2з1 + 2 = 10к²и5з³
4к · (3к²и) = 12к³и
Подела монома
8 а / 2 а = (8/2). (А / а) = 4
15 аи / 3а = (15/3) (аи) / а = 5 и
12 бки / -2 бки = (12 / -2) (бки) / (бки.) = -6
-6 в2. ц. к / -3вц = (-6 / -3) (в2.ц. к) / (в. ц) = 2 в
Сабирање и одузимање монома
Вежба: 3 × 3 - 4к + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2
Решење: 3 × 3 - 4к + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2 = 3 × 3 + 2 × 3 + 2 × 2 - 4к + 5 -2 = 5 × 3 + 2 × 2 - 4к + 3
